où WT est un processus de Wiener sous le cadre du risque neutre modélisant le facteur de risque de marché aléatoire, en ce qu`il modélise l`afflux continu de hasard dans le système. Le paramètre d`écart type, σ {displaystyle sigma}, détermine la volatilité du taux d`intérêt et, d`une manière, caractérise l`amplitude de l`afflux aléatoire instantané. Les paramètres typiques b, a {displaystyle b, a} et σ {displaystyle sigma}, ainsi que la condition initiale r 0 {displaystyle r_ {0}}, caractérisent complètement la dynamique et peuvent être rapidement caractérisés comme suit, en supposant qu`un {displaystyle a} soit non négatif: 11. La ligne noire et les croix représentent le même objet théorique-le taux de l`OIS à l`avant, qui est approximativement le taux court attendu sans ajustement de prime de terme–mais la courbe de spline a des paramètres nettement plus libres et est ajustée à un ensemble plus dense de Les échéances de l`OIS. La ligne noire montre ainsi à quel point le modèle correspond aux données de taux à terme observées. Retour au texte le PEL sur le taux des fonds fédéraux est traité comme un paramètre libre, et est estimé à environ 13,5 points de base. Le modèle implique un taux de 4,7 pour cent à court terme, auquel le taux des fonds fédéraux convergera sur de très longs horizons en l`absence de nouveaux chocs. Bien que le taux d`équilibre à court est constant dans ce modèle, le facteur le plus persistant est estimé à une demi-vie sous $ $ mathbb{P} $ $ d`environ 5 ans; en conséquence, le modèle est en mesure de générer une variation temporelle substantielle des taux attendus à court terme, même à des horizons de 5 à 10 ans (notion de “plus long terme” prise dans cette note). Outre les modèles à un facteur ci-dessus, il existe également des modèles multi-facteurs du taux court, parmi eux les plus connus sont le Longstaff et Schwartz modèle à deux facteurs et le modèle de trois facteurs Chen (également appelé “stochastique moyenne et stochastique modèle de volatilité”). Il est à noter qu`aux fins de la gestion des risques, «pour créer des simulations réalistes de taux d`intérêt», ces modèles à taux multiples à plusieurs facteurs sont parfois préférés sur les modèles à un facteur, car ils produisent des scénarios qui sont, en général, mieux «cohérents avec les mouvements de courbe de rendement».

[18] les fonctions changeantes de temps remplaçant les coefficients peuvent être introduites dans le modèle afin de la rendre cohérente avec une structure de terme pré-attribuée des taux d`intérêt et possiblement des volatilités. L`approche la plus générale est celle de MAGHSOODI (1996). Une approche plus tractable est dans brigo et Mercurio (2001b) où un décalage dépendant du temps externe est ajouté au modèle pour la cohérence avec une structure de terme en entrée des taux. Une extension significative du modèle CIR au cas de la moyenne stochastique et de la volatilité stochastique est donnée par Lin Chen (1996) et est connu sous le nom de modèle Chen. Un processus CIR est un cas particulier d`une diffusion de saut Affine de base, qui permet encore une expression de forme fermée pour les prix des obligations. Pour évaluer la façon dont les primes à terme ont évolué au fil du temps, la figure 5 montre les séries chronologiques des primes à terme–calculées en tant que taux d`avance instantané implicite du modèle moins le taux court futur prévu–pour plusieurs horizons. Pour la comparabilité, les primes à terme sont normalisées à des unités de points de base par mois de maturité et seraient identiques pour toutes les échéances si les primes à terme étaient des fonctions linéaires simples des échéances à chaque point dans le temps.